La Geometria de Lobachevski es una de las aportaciones mas interesantes de la Matematica moderna, por su desarrollo actual, es una Geometria No Euclideana, donde se conservan muchos de los principios clasicos, pero se tiene que adaptar, cosas como la distancia entre dos puntos o la creacion de rectas u hiperbolas, tienen que ajustarse a la nueva curvatura de este espacio geometrico hiperbolico.
El libro comienza con una breve perspectiva de la vida de Nicolái Ivánovich Lobachevski, una seccion que me sorprendio, por dos razones, pensaba que esta Geometria era del siglo XX, pero en realidad es de la epoca dela mitad del XIX, por otro lado Lobachevski y por el otro, lo increiblemente parecidas que son las practicas Universitarias de aquel entonces a las actuales.
Los axiomas se describen en el siguiente Capitulo, donde hay una interesante discusion de como la Matematica funciona, de como se intenta reducir al maximo la cantidad de ellos, y del porque se busca esto, un breve vistazo a la Filosofia y Praxis de la Matematica.
Se procede a comprender la diferencia entre la Geometria de dos y tres dimensiones, y el concepto de recta, el paralelismo y la redefinicion de los conceptos de curvas en ese espacio, hay una frase que me gusto:
"Asi pues Lobachevski retorno la geometria a la interpretacion materialista de los axiomas como proposiciones que constatan laspropiedades geometricas, fundamentales del espacio"
El siguiente Capitulo, trata del importante tema de la Inversion, que significa pasar de una figura geometrica a otra, algo muy importante en la transformacion geometria, donde las reglas cambian en este espacio, aqui vienen los primeros Teoremas, es aqui donde ya es necesario usar un cuaderno para leer el libro y donde se pone denso.
Continua con la carta del plano de Lobachevski, donde se definen las longitudes hiperbolica y euclideana, con medicion de longitudes, el espacio H, el movimiento hiperbolico y la transformacion de similitud, y viene un principio:
"desplazamiento euclideano del semiplano t a lo largo de la recta es un movimiento hiperbolico"
Aqui es importante, comprender algo mas, esta es una Geometria dinamica, no estatica, como estamos acostumbrados, es mas facil de entender si utilizamos el principio de la Mecanica de "seguir la particula"
El Capitulo 5, estudia la Circunferencia en el plano de Lobachevski, otra vez, basandonos en la carta t, en el Capitulo 6, se habla de la Equidistante y la Base, claro, usando distancias hiperbolicas, el 7 esta dedicado ala Linea Limite, el 8 a algunos Teoremas.
El 9 a Observaciones complementarias, el 10 a los Logaritmos naturales y las funciones hiperbolicas, con un particular interes en e y una muy buena introduccion formal de senh x, El 11 a la Medicion desegmentos de rectas, el 12 a las formulas de la Trigonometria hiperbolica, el Capitulo 13 se dedica a las longitudes de algunas curvas planas y se tiene finalmente una Conclusion, pero debo de aclarar que el termino Capitulo es demasiado generoso, algunos de ellos son de una hoja, tres paginas, esta extremadamente denso y requiere de una concentracion mucho mas profunda que la que tendria una lectura casual, es un libro para leer en casa, con un cuaderno a un lado, es una bunea introduccion al tema, lastima que un libro del mismo autor, pero de tamaño normal, jamas se tradujo al español.
